第4回 多角形の角
三角形・四角形から多角形まで、角度の性質をマスターしよう！
1. 三角形の内角の和
三角形の3つの内角の和は、いつでも180°になります。これは三角形の形や大きさに関係なく成り立ちます。
三角形の内角の和 ＝ 180°
例題
三角形の2つの角が 65° と 45° のとき、残りの角は何度ですか？
残りの角 = 180° − 65° − 45°
= 180° − 110°
= 70°
特別な三角形
正三角形：3つの角が全て 60°（180° ÷ 3 = 60°）
直角三角形：1つの角が 90°、残り2つの角の和は 90°
二等辺三角形：2つの角が等しい
2. 四角形の内角の和
四角形の4つの内角の和は360°です。四角形は対角線で2つの三角形に分けられるので、180° × 2 = 360° になります。
四角形の内角の和 ＝ 180° × 2 ＝ 360°
例題
四角形の3つの角が 90°、85°、110° のとき、残りの角は何度ですか？
残りの角 = 360° − 90° − 85° − 110°
= 360° − 285°
= 75°
3. 多角形の内角の和
n角形の内角の和には、次の公式があります。
n角形の内角の和 ＝ (n − 2) × 180°
これは、n角形を1つの頂点から対角線を引くと(n − 2)個の三角形に分けられるからです。
| 図形 | n | 三角形の数 | 内角の和 |
|---|
| 三角形 | 3 | 1 | 180° |
| 四角形 | 4 | 2 | 360° |
| 五角形 | 5 | 3 | 540° |
| 六角形 | 6 | 4 | 720° |
| 八角形 | 8 | 6 | 1080° |
| 十角形 | 10 | 8 | 1440° |
例題
七角形の内角の和は何度ですか？
(7 − 2) × 180° = 5 × 180°
= 900°
4. 正多角形の1つの内角
正多角形は全ての辺の長さが等しく、全ての角の大きさが等しい図形です。1つの内角は：
正n角形の1つの内角 ＝ (n − 2) × 180° ÷ n
| 正多角形 | 1つの内角 | 計算 |
|---|
| 正三角形 | 60° | (3−2)×180÷3 |
| 正方形 | 90° | (4−2)×180÷4 |
| 正五角形 | 108° | (5−2)×180÷5 |
| 正六角形 | 120° | (6−2)×180÷6 |
| 正八角形 | 135° | (8−2)×180÷8 |
| 正十二角形 | 150° | (12−2)×180÷12 |
例題
正九角形の1つの内角は何度ですか？
内角の和 = (9 − 2) × 180° = 7 × 180° = 1260°
1つの内角 = 1260° ÷ 9 = 140°
覚えておくと便利
正三角形 60°、正方形 90°、正五角形 108°、正六角形 120° はよく出るので覚えておきましょう。
5. 多角形の外角
外角とは、辺を延長してできる角のことです。内角と外角を合わせると180°になります。
内角 ＋ 外角 ＝ 180°
とても大事な性質があります：
外角の和
どんな多角形でも、外角の和はいつも 360° です。
三角形でも、六角形でも、百角形でも、外角の和は 360° です。
例題
正六角形の1つの外角は何度ですか？
外角の和 = 360°
1つの外角 = 360° ÷ 6 = 60°
（確かめ：内角 120° + 外角 60° = 180° ✓）
外角を使う裏ワザ
正n角形の1つの内角は、180° − 360° ÷ n でもすぐ求められます。
例：正五角形 → 180° − 360° ÷ 5 = 180° − 72° = 108°
6. まとめ
| 公式 | 式 |
|---|
| 三角形の内角の和 | 180° |
| n角形の内角の和 | (n − 2) × 180° |
| 正n角形の1つの内角 | (n − 2) × 180° ÷ n |
| 外角の和（どんな多角形でも） | 360° |
| 正n角形の1つの外角 | 360° ÷ n |
| 内角 ＋ 外角 | 180° |
テストでのポイント
① 三角形の内角の和 180° が基本
② 多角形は (n − 2) × 180° で計算
③ 外角の和 360° はどんな多角形でも同じ
④ 正多角形は外角 = 360° ÷ n が便利